2次方程式


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 それでは「因数分解」について解説を始めます。
まず因数分解の定義ですが、まずはカッコ等を使った掛け算の形にまとめることとでも思っておいて下さい。
ここで確認しておきたいことなのですが、因数分解とは逆にカッコを外す操作のことを一般に展開と呼びますがそれについての知識は大丈夫でしょうか?
以下の問題で知識を確認しておいて下さい。

  展開:例題 
    (x + 2)(x - 20) の式を展開しなさい。

  (x + 2)(x - 20) = x2+2x-20x-40 = x2-18x-40



    (x - 3)(2x - 5) の式を展開しなさい。

  (x - 3)(2x - 5) = 2x2-6x-5x+15 = 2x2-1x+15



    (4x - 3)(2x - 5) の式を展開しなさい。

  (4x - 3)(2x - 5) = 8x2-6x-20x+15 = 8x2-26x+15



    (ax + c)(bx + d) の式を展開しなさい。

  (ax + c)(bx + d) = abx2+bcx+adx+cd = abx2+(ad + bc)x+cd


 展開についての知識はよろしいでしょうか?
さらにここで確認しておきたいのですが、上の展開を暗算で解けますか?
つまり上の問題において、 (4x - 3)(2x - 5) = 8x2-26x+15 という答えがすぐに出せますか?ということです。問題なく暗算で解ける人は以下は読み飛ばして下さい。

2次方程式の展開では上で見たように、必ず ax2+bx+c の形になります。
2次方程式なんですからx2の項・xの項・xを含まない(定数)項 の3つが出てくるのは当たり前ですよね?



  <展開の画像が表示されていません!>     (4x - 3)(2x - 5) の式を展開することを考えます。
今までどのように展開をしてきたのかは人それぞれだと思いますが、この問題において展開における掛け算は右図に示すような4通りしかありません。
この掛け算から出てくる4つの式からx2の項・xの項・xを含まない(定数)項 の3つの項を作ることになるので、実は計算自体は非常に簡単なのです。


  <展開の画像が表示されていません!>   その中でもx2の項・xを含まない(定数)項の2つの項についてはそれぞれ 1組しかないので、掛け算するだけで答えがでます。非常に簡単ですね?
     x2の項は 4×2 = 8
     xを含まない(定数)項は (-3)×(-5) = 15
と求められます。


  <展開の画像が表示されていません!>  
一番困難なのがxの項ということになるのでしょうが、この項は2つの組から構成されているだけです。
なので右図のように内側同士・外側同士を掛けて足すだけで答えがでます。そんなに厄介な操作ではありませんよね?
     xの項は (-3)×2 + 4×(-5) = -26
と求められます。
暗算でやって頂きたいのはこのxの項の内側同士・外側同士を掛けて足すという操作のことです。
行う操作は -6 - 20 = -26 ・・・これぐらいは暗算で出来ますよね?




 長々と説明してきましたが、実際にやってみると非常に簡単な事です。しかしこういった計算方法は3次方程式・4次方程式と複雑になった場合でも活用されます。
同じxの項がどこの掛け算から出てくるのか?ということに意識をおいて計算に取り組んで下さい。

「確かに簡単な計算だけど、これぐらい一つ一つ書いて解いたっていいじゃん?」と思われる方もいると思いますが、簡単な計算を高速化出来ること が入試試験ではかなりの時間の差になってきます。センター試験・本試験いずれにおいても時間の使い方は非常に大切です。
また試験や時間うんぬんの話だけではなく、簡略に解く暗算が出来る人ほど回転が速いです。
早い話が<重要>ということですので、正確に速く解く頭の体操だと思って普段から実践して下さい。

以下に例題を用意しましたので、やってみましょう。

  展開:例題 
    (x + 3)(x - 10) の式を展開しなさい。

  (x + 3)(x - 10) = x2-7x-30



    (x - 3)(4x - 5) の式を展開しなさい。

  (x - 3)(4x - 5) = 4x2-17x+15



    (2x - 3)(2x - 5) の式を展開しなさい。

  (2x - 3)(2x - 5) = 4x2-16x+15



    (3x - 2)(4x + 3) の式を展開しなさい。

  (3x - 2)(4x + 3) = 12x2+1x-6



    (6x + 7)(8x + 1) の式を展開しなさい。

  (6x + 7)(8x + 1) = 48x2+62x+7



    (ax + c)(bx + d) の式を展開しなさい。

  (ax + c)(bx + d) = abx2+(ad + bc)x+cd


次のページからいよいよ因数分解に入ります。