2次方程式


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  参考ページ 
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  二次方程式の基本を学びたい人は1次方程式・2次方程式の基礎
  二次方程式の展開を学びたい人は2次方程式の展開の手法
  中学校の因数分解を学びたい人はたすきがけしない!簡単因数分解

  ~10秒数学ゲーム~ new!
  中学校までの因数分解を10秒で解く練習をしたい人は10秒数学トレーニング

  ~高校からの2次方程式~
  高校生の複雑な因数分解を学びたい人はたすきがけしない!複雑な因数分解
  さらに速く楽に解くコツを学びたい人は因数分解は最初にまとめよう
  二次方程式を解くやり方を学びたい人は複雑な2次方程式の答えを求める
  平方完成の式変形・公式を学びたい人は平方完成の式変形
  解の公式の暗記法・証明を学びたい人は解の公式の証明と覚え方
  無理やり因数分解する策を学びたい人は解の公式を用いて因数分解をする!?
  解と係数の関係を意味から学びたい人は解と係数の関係と対称式



 さて、今まで因数分解・平方完成・解の公式という分野について学び、2次方程式を解くということを目的に説明してきました。
いうなれば2次方程式を解くために因数分解等を学んできたわけですね。
しかしここで手段と目的をひっくり返して
因数分解をするために2次方程式を解くということを行います。



  <因数分解の画像が表示されていません!>     x2+2x-1 を因数分解しなさい。

 今までのページでも扱った数式ですが、今までの知識でこの式を因数分解しようとしてみても、2つの数を掛けて「-1」、足して「+2」になるような 有理数というのは見つかりません。
しかし、知っての通り x2+2x-1 = 0 を解く、ということは行ってきたわけです。この解を解の公式によって求めることで因数分解を行います。


 何を言っているのか分からないと思うので、以下で詳しく解説します。
x2+2x-1 = 0 の2つの解をαβという2つの記号でおいてしまいます。
一見記号で分かりにくいと感じる人もいるでしょうが、αβとはただの数です。
さらに具体的にいえば、実際に解の公式を用いると  <解の公式の画像が表示されていません!>  と求められるので
   α = 1 + √2
   β = 1 - √2  (α = 1 - √2,β = 1 + √2 でもいいです)
ということです。αβ x2+2x-1 = 0 の2つの解だというのは頭に入りましたか??

 さてここで確認したいのですが、 x2+2x-1 = 0 x = α,βを代入すると式が成立する、ということです。
そのようなxを求めようとしていたので当たり前ですよね?なので例えば
    α2+2α-1 = 0
    β2+2β-1 = 0
という式が成立する、というわけです。ここまで当たり前に見えていますか?

 ところでxの2次方程式でx = α,βを代入すると0になるという式が成立するものの例を1つ挙げてみて下さい。
そのような式といったら・・・
ずばり(x - α)(x - β) = 0がそうですよね?
何が言いたいかというと・・・
x2+2x-1 x = α,βを代入すると0
(x - α)(x - β) x = α,βを代入すると0

 要するに x2+2x-1 = (x - α)(x - β)となるんです!(※ 若干議論は曖昧ですが直観的に正しいと感じてくれれば良いです)

 今までの長い話を要約しますと
x2+2x-1 = 0 の2つの解をαβという2つの記号で表すと
x2+2x-1 = (x - α)(x - β)と式変形できる
ということです。(だって左辺も右辺もx=α,βを代入して0だもん!)

 では、今回の問題 x2+2x-1 の因数分解ですが
   α = 1 + √2
   β = 1 - √2
なので
x2+2x-1 = (x - α)(x - β)
    = {x - (1 + √2)}{x - (1 - √2)}
    = (x - 1 - √2)(x - 1 + √2)
と因数分解できます。

このように解の公式を使って2次方程式の解を求めることでどんな2次式でも因数分解できるのです。
では次の例題も取り組んでみましょう。



  <因数分解の画像が表示されていません!>     2x2-9x-1 を因数分解しなさい。

 今回は x2 の係数が今回は 1 でないので若干の注意が必要です。
因数分解したときに 2x2-9x-1 = (x - α)(x - β) とは成り得ませんよね。
今回は x2 の係数の帳尻を合わせるために 2x2-9x-1 = 2(x - α)(x - β) となる必要があります。


つまり
2x2-9x-1 = 0 の2つの解をαβという2つの記号で表すと
2x2-9x-1 = 2(x - α)(x - β)と式変形できる
ということです。(だって左辺も右辺もx=α,βを代入して0だもん!)

また 2x2-9x-1 = 0 の2つの解は
    ∴x = 9/4 ± √89 / 4
となることに注意すると
2x2-9x-1 = 2(x - α)(x - β)
    = 2{x - (9/4 + √89 / 4)}{x - (9/4 - √89 / 4)}
    = 2(x - 9/4 - √89 / 4)(x - 9/4 + √89 / 4)
となります。こちらも通常では解く事の出来ない因数分解を解の公式を用いることで簡単に求めることができました。
以上の手順を一般化してまとめると次のようになります。

  解の公式を用いた因数分解・まとめ 
    ax2+bx+c の因数分解をしなさい

   ax2+bx+c = 0 の2つの解をαβという2つの記号で表すと
   ax2+bx+c = a(x - α)(x - β)と因数分解できる
  ということです。(だって左辺も右辺もx=α,βを代入して0だもん!)

  ただし ax2+bx+c = 0 の2つの解α・β
      <解の公式の画像が表示されていません!>   とする


さてあとはいつものごとく練習です。解の公式を用いることで次の因数分解を行ってみて下さい。

  解の公式を用いた因数分解:例題 
    x2-10x+3 の因数分解をしなさい。

  x2-10x+3 = 0 の解を求めると
 ∴ x = 5 ± √22
 よって  x2-10x+3 = {x - (5 + √22)}{x - (5 - √22)}



    x2+5x+3 の因数分解をしなさい。

  x2+5x+3 = 0 の解を求めると
 ∴ x = - 5/2 ± √13 / 2
 よって  x2+5x+3 = {x - (- 5/2 + √13 / 2)}{x - (- 5/2 - √13 / 2)}



    4x2+8x+1 の因数分解をしなさい。

  4x2+8x+1 = 0 の解を求めると
 ∴ x = - 1 ± √3 / 2
 よって  4x2+8x+1 = {x - (- 1 + √3 / 2)}{x - (- 1 - √3 / 22)}



    7x2+9x+2 の因数分解をしなさい。

  7x2+9x+2 の解を求めると
 ∴ x = - 9/14 ± 5/14  (すなわち、x = - 1 , - 2/7)
 よって 7x2+9x+2 = {x - (- 1)}{x - (- 2/7)}
       = (x + 1)(x + 2/7)



    x2-18x+81 の因数分解をしなさい。

  x2-18x+81 = 0 の解を求めると
 ∴ x = 9    「√」 の中が "0" なので答えは一つだけになる。
 よって  x2-18x+81 = (x - 9)(x - 9)
       = (x - 9)2


 以上になります。実は全ての問題が前ページの問題から持ってきています。
重要なのは何か?というと解の公式を使って2次方程式の解を求めることでどんな2次式でも因数分解できるということです。
この単元は頑張れば中学3年生にも理解出来る単元ではありますが、センター試験でも取り上げられるほど重要な内容だったりします。さらに重要なのが、次のページから説明する解と係数の関係の 理解において非常に重要な内容です。きちんと理解しておくようにしましょう。