二次関数

最大・最小

 ここでは二次関数の最大・最小の話をしましょう。二次関数は通常y=ax2+bx+cのような形をしています。これの最大値・最小値を 求めるとはどういうことかというと、yが一番大きく(小さく)なるようなxの値と、そのときのyの値を求めるということです。

 たとえば下に凸な二次関数を考えてみましょう。この場合、最小値は間違いなく頂点のy座標になるでしょう。 では最大値はどこになるでしょうか?xが無限に大きく、もしくは無限に小さくなっていくと、それに従ってyは無限に大きくなります。 こういう場合は最大値は無しということになります。

 上のような場合は、別に考えても何も面白くありません。厄介なのはxの取りうる値(つまり定義域)が制限されているときです。 このような場合、定義域の両端、もしくは放物線の頂点において最小・最大となります。放物線が上に凸か下に凸か、定義域は閉区間 なのか開区間なのかなど、考えることはたくさんありますが、基本的には中学で習う内容と大差ありません。 簡単な例をいくつか見ておきましょう。

例1:y = (x - 2)2 - 3 (-1 ≤ x ≤ 1)
fig3-1
 この場合は図から明らかなように、

	    x = -1で最大値6
	    x = 1で最小値-2
	    
となります。

例2:y = (x - 2)2 - 3 (-1 ≤ x ≤ 3)
fig3-2
 この場合は少し注意が必要で、頂点において最小値を取ります。では、最大はどこでしょうか? 図を見れば明らかで、x = -1で最大となります。
 この場合のように、頂点が定義域内にあるときは最大値は定義域の左端、もしくは右端のどちらかとなります。 具体的にどちらが最大になるかというのは明確な基準があります。それは、頂点からより遠い方の端が最大というものです。 例えばこの場合のように頂点が定義域内で右寄りにある場合は、左側の方がよりyが大きくなる余地があるということです。 最終的な解答は以下のようになります。

	      x = -1で最大値6
	      x = 2で最小値-3
	    

例3:y = (x - 2)2 - 3 (-1 < x ≤ 3)
fig3-3
 これは例2とほとんど同じですが、定義域の左端が開区間(「=」がない)となっています。 この場合、最小値は先ほどと同様頂点となります。しかし最大値はどうでしょう? 本当ならy = -1で最大と言いたいところですが、-1はギリギリxの定義域に入っていません。 つまり、この関数にx = -1を代入することはできません。 しかしxの値を-1に限りなく近づけることはでき、xはいくらでもx = -1のときのyの値6に近づけることが できます。そのためこのような場合では最大値は定まらず、最大値は無しとなります。

	      x = -1で最大値6
	      最大値無し