二次関数

放物線とx軸との共有点

 二次関数y = x2 + 2 x - 3について考えてみましょう。 この二次関数にy = 0を代入すると、x2 + 2 x - 3 = 0という 二次方程式が現れることが分かります。これを試しに解いてみると、 解はx = -3, 1となります。この二次方程式の解は、もとの二次関数の グラフ上では何を表しているのでしょうか?

 その答えは、二次関数とx軸の共有点のx座標です。 上で行った操作の意味は、「y = 0のとき、x = -3, 1になる」と捉える ことができるからです。この様子を図に示します。
fig5-1

ところで、二次関数は常に2つの異なる解を持つわけではありません。 解を一つしか持たないこともあるし、解がないなんてこともありえます。 その場合、グラフ上ではどのようなことが起こるのかを考えてみたいと思います。 しかしその前に一つ簡単な確認をしておきましょう。二次方程式において、 解の個数がいくつになるかを調べる方法があります。それが判別式です。 判別式とは、二次方程式の解の公式に現れる平方根の中身そのものです。 つまり、以下の式となります。

	      a x2 + b x + cにおいて
	      D = b2 - 4 a c
	    
このDの値の正負によって、二次関数の解の個数は変わります。 具体的には以下のようになります。
  • D > 0 : 異なる2つの解を持つ
  • D = 0 : ただひとつの解を持つ(重解という)
  • D < 0 : 解なし
このように、判別式の符号を見ることで二次方程式の解の個数を調べること 自体は簡単にできます。

 では、これらが二次関数のグラフにどのような影響を及ぼすか見て行きましょう。 上で述べたように、二次関数においてy = 0としたときに現れる二次方程式の解は、 二次関数とx軸の共有点のx座標を表します。つまり、解の個数が二次関数とx軸の 共有点の個数に対応します。具体的には以下のようになります。

  • D > 0 : 二次関数とx軸は2点で交わる
  • D = 0 : 二次関数とx軸は接している
  • D < 0 : 二次関数はx軸と共有点を持たない

 D > 0, D = 0, D < 0となるような二次関数のグラフを下に示します。
fig5-2

fig5-3

fig5-4