三角比・三角関数


  参考ページ 
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  三角比(sin,cos,tan)の表については↓↓↓のページへ!!

  0°から360°について
  正弦,余弦,正接の表sin,cos,tanの値の対応表
  正弦,余弦,正接,余割,正割,余接の表sin,cos,tan,cosec,sec,cotの値の対応表


 cosθ,sinθ,tanθについて一通り学んだところで、有名角について学びます。
一般にθに適当な値を入れてcosθ,sinθ,tanθの値を求めようとすると、正確な値など殆どの角について分かりません。
たとえば、 「cos1° や sin53° の値は何か?」と問われてもどういった値なのかさっぱり分かりません。

 しかし、例外があります。今までにも30°,45°,60°等いくつか出てきましたが実は
θ = 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°...
という値の場合cosθ,sinθ,tanθの値が簡単に分かるのです。





 角度による移り変わりを見ると右図のようになります。
言ってしまえば「右図のイメージを覚えてしまえば有名角の勉強は終わりです!!」
その上やってみると分かりますが、これらの値は規則性を見つければ簡単に覚えられます!以下ではその覚え方について 解説していきます




まずは角度とcos,sin,tanとの対応表をみてみましょう。

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 上図のような値になります。一部√1/2等と言う書き方をしていますが、要するに1/2です。




また実際に単位円上で考えられるように、右図に座標の分かる図を置いておきます。

√1/2 = 0.5
√2/2 = およそ0.71
√3/2 = およそ0.87

となるので参考にして下さい。
少々アバウトですが、30°, 45°, 60° 等の有名角の値を与えた時、実際に上図の値になっていることが確認出来るかと思います。

 よく学校などだと「はい!じゃあこの表の値全部暗記して〜!!」などという展開になるかと思いますが、 それでは何が何だか分かりませんよね。確かに暗記する必要はあるのですが、これには三角比の理解を助ける様々な規則性があります。
いくつか見て行きましょう。





  <三角関数の画像が表示されていません!>    まずこの表をみて最初に目につくのが”なし”という記号や 1 , 0 などだと思います。
そこで θ = 90° について見てみます。



tanθ = sinθ/cosθ を用いて考えてみると、このとき cosθ = 0 なので 分母が0になっています。分母が0となる分数は定義出来ませんね。
  右図をみると分かるように θ = 90° の時をみると直線の傾きが定義出来ません。要するにtan90°とは 値を持たない(無限だと考えることもある)のです。


同様の理由からtan270°も定義できません。似たような値として θ = 0°, 90°, 180°, 270°, 360°...についてみてみると 下図のようになります。

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  <三角関数の画像が表示されていません!>    次に分かりやすい例として傾きが1または−1になっているものがいくつかあります。
そこで θ = 45° について見てみます。




これは前ページでも触れましたが、45°の傾きをもつ直線は傾きが1となるので tan45° = 1 となります。
またこのときX座標・Y座標が共に等しくなり、 cos45° = sin45° = √2/2 となります。
この √2/2 という値は覚えておいても良いかと思います。



似たような値として θ = 45°, 135°, 225°, 315° ...についてみてみると 下図のようになります。
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  <三角関数の画像が表示されていません!>    残りのものをまとめてみてみます。一見様々な形があるように見受けられますが、出てくる値は殆ど同じです。
まず θ = 30° について見てみます。

 さてcos,sin,tanについて考えますが・・・これは計算出来て欲しいです。
というのも実は一番最初のページで触れた内容だったのです。
    cos30° = √3/2
    sin30° = 1/2
    tan30° = sin30°/cos30° = 1/√3 = √3/3
となります。cos,sinの値さえ覚えておけば、tanはその2つから求めることもできます。

右図での理解を大切にしましょう。X座標が √3/2 ,Y座標が 1/2 とX座標の方がY座標に比べて長くなっています。30°の線を引けばすぐにわかることですが。
長い方が√3/2 ,短い方が 1/2と覚えておくといいでしょう。理由は後で分かります。




  <三角関数の画像が表示されていません!>   次に θ = 60° について見てみます。
 先程の場合と同じように一番最初のページと同様に考えれば 60°のときのcos,sin,tanの値もすぐに分かります。
    cos60° = 1/2
    sin60° = √3/2
    tan60° = sin60°/cos60° = √3
となります。

右図での理解を大切にしましょう。X座標が 1/2 ,Y座標が √3/2 とY座標の方がX座標に比べて長くなっています。こちらも60°の線を引けばすぐにわかることです。
cos,sinについては30°の場合と真逆ですね。
実はやっている意味としては以前に説明した内容と同じで

   cos(90°-θ) = sinθ
   sin(90°-θ) = cosθ

と同じです。今このθに30°を代入した、ということですね。
長い方が√3/2 ,短い方が 1/2と覚えておくとcos,sinについてはすぐに求められます。

  [※ちょっと応用] 
  tanは tan60° = sin60°/cos60° と計算で求めても良いですが
  30°の傾きの直線と60°の傾きの直線は、y=xの直線について対称なので
   tan60° は tan30° の逆数 すなわち tan60° = 1/tan30° = √3 と考えてもよいです。

   一般に tan(90°-θ) = 1 / tanθ




似たような値として θ = 30°, 60°, 120°, 150°, 210°, 240°, 300°, 330° ...についてみてみます。
  cos,sin については 長い方が√3/2 , 短い方が 1/2 
  tan については 傾きが急なら√3 , 傾きが緩やかなら1/√3(√3/3) 
が出てきて、あとはこれに正負をつけるだけです。
下図のようになります。
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  <三角関数の画像が表示されていません!>    今までの内容全てを押さえることが出来ましたでしょうか?少々量が多かったと思うので、ここで一度まとめます。
ここでは違いをみるため、特に θ = 30°, 45°, 60° についてみてみます。

よくこの3つの角度でのcos,sin,tanの値をごっちゃにしている人をみかけますが大丈夫でしょうか?

  cos , sin については 
   短ければ  1/2 
   中くらいなら √2/2 ,
   長ければ √3/2 ,
ですし
  tan については 
   傾きが緩やかなら √3/3 ,
   傾きが中くらいなら 1 ,
   傾きが急なら √3 
となります。


とくに cos , sin は √1/2 , √2/2 , √3/2 と連続的に変化していくというのは大きな特徴です。「√」で考えれば 1,2,3・・と変化しているため非常に覚えやすいはずです。

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上の表が θ = 0°, 30°, 45°, 60°, 90° までの範囲でまとめたものになります。これさえ覚えてしまえば残りの角度はすぐに理解できます。



今までの内容は全て理解できましたでしょうか?そして今パソコンの画面から目を離して
θ = 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°...
の値についての最初の表を作ることが出来ますでしょうか?



これが出来れば一人前です。この表は今までの内容の集大成のものです。
出来なかった場合は1人で表が書けるまで出来るまでやって下さい。1つでも正負を間違えたり、数値を間違えたならアウトです。
今までの内容をしっかり読み返すなどして理解を深めれば何とか出来ると思います。

 右に参考になりそうなアニメーションを乗せておきます。頭の中で右図のような情景が思い浮かんで、値が分かるレベルに到達して下さい。



最後にもう一度有名角の表を載せておきます。

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