図形:正弦定理

 正弦定理です.正弦とはサイン(sin)のことです.
つまり正弦定理とは要するに”sinについての定理”という意味です.正弦定理と余弦定理をごちゃ混ぜに覚えてしまう人が多いので 良く覚えておいて下さい.

  正弦(sin)定理とはsinについての定理
  余弦(cos)定理とはcosについての定理

となります.どちらも三角形についての定理ですが,sinかcosかという大きな違いがあります.



  <図形の画像が表示されていません!>    右図のように三角形ABCにおいて角A,B,Cと辺a,b,cを取れば正弦定理とは次のような公式になります.


a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R


  [注意] 
1:Rとは三角形ABCの外接円とする.
2:一般に三角形においてある角をA(大文字)と決めた場合,それと向かい合う辺をa(小文字)とする.




 上の注意はどちらも重要です.
特にについては正弦定理でなくても,三角形の図では 通常向かい合う角と辺とをペアとしてアルファベットの大文字・小文字で表現します. この機会に覚えておきましょう.

また正弦定理が覚えにくい場合,次のように覚えて下さい.
  『三角形の向かい合う辺と角の比が外接円の半径の2倍(外接円の直径)』
このように覚えれば簡単なはずです.
a/sinA , b/sinB , c/sinC はいずれも三角形の向かい合う辺と角の比ですよね.



さらに記憶の定着化を図るため右図のように意識して下さい.


特にこの時,教え子に必ずやらせていることなのですが

『sinのコレ分のコレは外接円の直径』
実際に指差し確認しながら口に出して公式を使って下さい.



今すぐ右図を見ながら『sinのコレ分のコレは外接円の直径』 と10回くらい唱えましょう.公式を使う時には毎回指差し確認すればまずミスはなくなる筈です.





  <図形の画像が表示されていません!>   また正弦定理の間違いとして多いのが

  ×:外接円の半径R内接円の半径rとしてしまう
  ×:a/sinAsinA/aとしてしまう
  ×:a/sinAa/cosAとしてしまう

などです.このようなミスをしたことがある人は上の指差し確認声に出す癖を大事にして下さい.




  <図形の画像が表示されていません!>  右図においてAC,ABの長さは?


この問題の場合ですと有名角3つを持つ三角形ですので三角比・三角関数のページで 紹介されているものと同じ三角形です.なので特別計算をしなくても

  AC = √3・R
  AB = R

と分かるのですが,ここでは練習がてら正弦定理を使って解いてみましょう.

正弦定理より
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
よって
BC/sin90° = AC/sin60° = AB/sin30° = 2R

すなわち
  AC = 2R・sin60° = √3・R
  AB = 2R・sin30° = R
となります.

  基本事項のまとめ 
   ■円周角の定理

   ■円に内接する四角形

   ■接弦定理

   ■方べきの定理

   ■正弦定理

   ■余弦定理

   ■角の2等分線の定理

   ■中線定理