図形:余弦定理

 余弦定理です.余弦とはコサイン(cos)のことです.
つまり余弦定理とは要するに”cosについての定理”という意味です.正弦定理と余弦定理をごちゃ混ぜに覚えてしまう人が多いので 良く覚えておいて下さい.

  正弦(sin)定理とはsinについての定理
  余弦(cos)定理とはcosについての定理

となります.どちらも三角形についての定理ですが,sinかcosかという大きな違いがあります.



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 上図のように三角形ABCにおいて角A,B,Cと辺a,b,cを取れば余弦定理とは次のような公式になります.

?辺を求める?
  1:a2 = b2 + c2 - 2bc・cosA
  2:b2 = a2 + c2 - 2ac・cosB
  3:c2 = a2 + b2 - 2ab・cosC

?角を求める?
  1:cosA = (b2 + c2 - a2) / 2bc
  2:cosB = (a2 + c2 - b2) / 2ac
  3:cosC = (a2 + b2 - c2) / 2ab


このように一見辺を求める角を求める かによって2種類あるかのように見えますが,
  
  
  
という式はそれぞれ式を変形させれば同じものです.なので,片方だけを覚えておいて,もう1つは必要に応じて作るというのでも良いでしょう
ここでは例えば辺を求める式だけをまず覚えて置くということにしておきましょう.

  <図形の画像が表示されていません!>   さらに1から3の式を見ると実は向きを変えれば同じような式として考えられます.
右図ではAが上に描かれていますが,例えばBが上になるように三角形の向きを変えると・・・
  1:a2 = b2 + c2 - 2bc・cosA

  2:b2 = a2 + c2 - 2ac・cosB
は記号が変わっただけで本質的には同じです.

実は全部同じ形の式なのです.どの辺を求めるか・・・に着目して記号がかわるだけだと思って下さい.
それでは右図の式を暗記しましょう!


・・・なかなか暗記しづらいですよね.ご覧の通り,余弦定理の形は見た目がやや煩雑な形になっています.そこで次のように覚えましょう.



記憶の定着化を図るため右図のように意識して下さい.


特にこの時,教え子に必ずやらせていることなのですが

コレ(a)の2乗は・・・』
実際に指差し確認しながら口に出して公式を使って下さい.



今すぐ右図を見ながらコレ(a)の2乗は・・・』 と10回くらい唱えましょう.公式を使う時には毎回指差し確認すればまずミスはなくなる筈です.


  a2 = b2 + c2 - 2bc・cosA
がそらで言えるようになりましたか?そうしたら次は
  b2 = ・・・
が言えるようになりましょう.

実際に指差し確認してみると分かりますが,まったく同じです.
このようにして余弦定理を暗記しちゃいましょう.

  基本事項のまとめ 
   ■円周角の定理

   ■円に内接する四角形

   ■接弦定理

   ■方べきの定理

   ■正弦定理

   ■余弦定理

   ■角の2等分線の定理

   ■中線定理