場合の数


  参考ページ 
  〜場合の数には学ぶ上で重要な【コツ】があります!〜
  一度基本から学んでみたい人は場合の数(順列・組み合わせ)のコツと基本

  〜順列の公式〜
   順列の基礎公式 nPr = n! / (n-r)! を学びたい人は場合の数:順列公式の基礎と証明と覚え方

  〜組み合わせの公式〜
   組み合わせの基礎公式 nCr = nPr / r! を学びたい人は場合の数:組み合わせ公式の基礎と証明と覚え方
  場合の数:数式の公式を学びたい人はnCr = nCn-r の組み合わせ公式の証明と覚え方
  場合の数:数式の公式を学びたい人はrnCr = nn-1Cr-1 の組み合わせ公式の証明と覚え方
  重複組み合わせの公式を学びたい人は重複組み合わせ公式の証明と覚え方


「場合の数」「確率」「期待値」といった分野は苦手意識も強い人が多いのではないでしょうか?
これらの分野の第一歩目となる「場合の数」が押さえられていないと、その後に出てくる「期待値」はおろか、「確率」を解くこともできません。
「場合の数」とは簡単にいえば、”数える”というだけの分野です。しかし、”数える”といっても数が膨大になったり、条件が複雑になったりすると1つ1つ数えるには やや難が生じます。そこで組み合わせや順列、重複組み合わせ、円順列等など様々な分野が登場するわけです。「場合の数」において大雑把に言える コツは次の事柄です。漏れなく重複なく数える。コレだけです。

 ここではまず「場合の数」について妙な計算などは一切行わずに漏れなく重複なく数える ことだけを意識して、1つ1つ数え上げてみたいと思います。



大小2つのサイコロを振ったとき、出る目の組み合わせは何通りか?

  <場合の数の画像が表示されていません!>    さて、答えは何通りになるでしょうか?難しい、だなんて言わせません。ここで行うことは「1つ1つ数え上げること」なんですから、やろうと思えば誰でも出来ることなんです。
ということで、全通りのパターンを書き出してみましょう。結果は右図の通りになります。

 この結果を見て分かるように、答えは36通りですね。場合の数の基本はこういった実際に数え上げることから始まるのです。逆にこの問題を間違えるとしたら、問題文を読み違えているか 数え上げで間違えたかどちらかでしょう。注意深く取り組んでみて下さい。




大きさ形などがまったく同じ2つのサイコロを振ったとき、出る目の組み合わせは何通りか?ただし2つのサイコロは区別しない。

  <場合の数の画像が表示されていません!>    この問題も先程と同様ですべて数え上げましょう。ただ先程の問題と条件が少しだけ異なるのです。一体何が違うのか、ということを意識して全パターンを書き出してみましょう。結果は右図の通りになります。

 この結果を見て分かるように、答えは21通りですね。さきほどの問題との大きな違いは「2つのサイコロは区別しない」ということです。
これによって何が変わるのか分かりにくいかもしれませんが、この条件によって(大,小)=(1,2),(2,1)というように区別していたものが1つとしてカウントされるのです。


 このようにまずは1つ1つ丁寧に数えてみましょう。実際に書き出してみると意外にすんなりできるものです。ただ、問題文を読み違えて全然違うものを数えていた、なんてことはなんとしてでも避けて下さい。受験数学において全分野にありがちですが、 「違う問題を解く」ことは非常に危ないのでまずはきちんと問題文を理解しましょう。
※<補足1> 通常、このような問題においては2つのサイコロを区別して行うので、2つ目の問題は非常に珍しい問題です。
※<補足2> 上のような2題の問題を出すと2つのサイコロを振ったときピンゾロ(1,1)が出る確率は、「大小異なるサイコロのとき 1/36 」「同じサイコロのとき 1/21 」のように考える方がいますが、そんなわけありません。常識的に考えても 1/36 が答えです。 確率がサイコロの大きさで変わる、なんて日常的な経験でもありえませんよね?ここでは確率の説明を割愛するので、この理由については「確率」の単元で学んで下さい。

 次あげる問題も数えるだけ、という話なのですが問題文をしっかり解釈出来ない人が続出する問題です。きちんと考えるようにして1つ1つのパターンを書き出して下さい。



  <場合の数の画像が表示されていません!>  
 袋の中に赤ボール3つ青ボール2つ緑ボール1つが入っている。 この中から無作為に2つのボールを取り出した時に、取りだす方法は全部で何通りか?

 この問題はどうでしょうか?よく問題集などで見かける問題だと思われます。これも先程と同様に数え上げを行います。同時に2つのボールを取りだしたときにどんなパターンがあるか、実際に例を挙げて考えれば良いのです。



  <場合の数の画像が表示されていません!>  
 全てのパターンを数え上げると右図のようになります。大事なことですが問題文中に特に指示が無い場合はボールの1つ1つを区別して考えます。 これはもう、常識としか言いようがないのです。残念ですがそう認識して下さい。
つまり次のような考え方をしてはダメということです。


  <場合の数の画像が表示されていません!>  
 右図のように考えた人は答えは5通りになりますが・・・しかしこのような考え方は先程いったようにNGです。 ボールの1つ1つを区別していないのでダメなのです。

もし仮にこのような答えの出し方をすると、問題文が

袋の中に赤ボール100個青ボール50個緑ボール1つが入っている。 この中から無作為に2つのボールを取り出した時に、取りだす方法は全部で何通りか?

という問題だったとしても答えが同じで5通りになります。これはいくらなんでも考え方としておかしいな、という感じになりますよね。
よって今回の問題の答えは前の図の考え方が正しく15通りが正解です。

※<補足> もし仮に次のような問題だったとしても答えは同じで15通りです。
袋の中に赤ボール6個が入っている。この中から無作為に2つのボールを取り出した時に、取りだす方法は全部で何通りか?
袋の中にボール6個が入っている。この中から無作為に2つのボールを取り出した時に、取りだす方法は全部で何通りか?
ボールの色の種類にはよらない、ということです。




  <場合の数の画像が表示されていません!>
 袋の中に赤ボール3つ青ボール2つ緑ボール1つが入っている。 この中からAさんが1つのボールを取り出したあとBさんが1つのボールを取り出す時に、取りだす方法は全部で何通りか?

 この問題はどうでしょうか?先程の問題の場合ですとボールを取り出すのは1人だったのに対して、今回はAさん、Bさんという2人の人物が登場することです。
当然Aさん、Bさんという2人の人物は区別して考えます。その場合どのように変わってくるか、意識して全パターンを書き出してみましょう。

  <場合の数の画像が表示されていません!>  
 全てのパターンを数え上げると右図のようになります。簡単に言えば、1人目に取りだしたボール、2人目に取りだしたボールをそれぞれ区別すれば良いのです。
つまり、先程は2つのボールを取りだした組み合わせを数えていたのに対して、今回は取りだす順番を含めて考えている、ということです。
なので答えは図より30通りです。


問題文をしっかり解釈するだけ、でも結構苦戦した人はいたのではないでしょうか?
ここのページで行っていることは複雑なことは一切しておらず全てのパターンを書き出して数えるということしかしてないです。やろうと思えば誰でも出来ることなのですが、これが場合の数における一番の基礎です。
何らかな計算方法を知っている人は確かにすぐ求める事が出来るのですが、きちんと式をたてられていますでしょうか?まずは基礎となる考え方を押さえて下さい。