組み合わせで用いられる重要な性質


  参考ページ 
  〜場合の数には学ぶ上で重要な【コツ】があります!〜
  一度基本から学んでみたい人は場合の数(順列・組み合わせ)のコツと基本

  〜順列の公式〜
   順列の基礎公式 nPr = n! / (n-r)! を学びたい人は場合の数:順列公式の基礎と証明と覚え方

  〜組み合わせの公式〜
   組み合わせの基礎公式 nCr = nPr / r! を学びたい人は場合の数:組み合わせ公式の基礎と証明と覚え方
  場合の数:数式の公式を学びたい人はnCr = nCn-r の組み合わせ公式の証明と覚え方
  場合の数:数式の公式を学びたい人はrnCr = nn-1Cr-1 の組み合わせ公式の証明と覚え方
  重複組み合わせの公式を学びたい人は重複組み合わせ公式の証明と覚え方


 前ページで触れた内容とは異なるコンビネーションにおける重要な性質について解説します。
今までの問題などでは気がつくこともなかったと思いますが

   場合の数:数式

という関係が成立します。例えば
   5C2 = 5×4C1 = 20
   10C2 = 10×9C1 = 90
   10C3 = 10×9C2 = 360
などという関係が成立しています。たしかに場合の数:数式という関係が成立していますね。
なぜでしょうか?これを考える上でまず次の問題について考えて見てください。



10人の人がいる。この中から3人のグループを作る方法は何通りか?

 10人の中から3人を選ぶ組み合わせの問題です。
よって  10C3 通りとなります。 もうこの程度の問題には慣れましたよね?




10人の人がいる。この中から3人のグループを作り、その3人の中から1人の代表を選ぶ方法は何通りか?

 まず「3人のグループを作る」のは先ほどと同じで「10人の中から3人を選ぶ組み合わせ」の問題です。
よってここについては  10C3 通りとなります。

 次に「3人の中から1人の代表を選ぶ」ということについてですが、「3人の中から1人を選ぶ組み合わせ」の問題です
ここについては  3C1 通りとなります。

 よって今回の問題では、これら2つの式を掛け合わせれば良いので
場合の数:数式
が答えになります。



10人の人がいる。この中から1人の代表を選ぶ方法は何通りか?

 10人の中から1人を選ぶ組み合わせの問題です。
よって  10C1 通りとなります。



10人の人がいる。この中から1人の代表を選び、残りの9人の中から2人のグループを作る方法は何通りか?

 まず「1人の代表を選ぶ」のは先ほどと同じで「10人の中から1人を選ぶ組み合わせ」の問題です。
よってここについては  10C1 通りとなります。

 次に「残りの9人の中から2人のグループを作る方法」ということについてですが、「9人の中から2人を選ぶ組み合わせ」の問題です
ここについては  9C2 通りとなります。

 よって今回の問題では、これら2つの式を掛け合わせれば良いので
場合の数:数式
が答えになります。



さて気がついたでしょうか?今解いた2つの問題はどちらも同じ答えになっています。じつは場合の数:数式の 関係になっています。なぜでしょうか?

  <場合の数の画像が表示されていません!>  
直観的には右図の通りです。

あたりまえ・・・とも言えますが、
10人の中から3人のグループを作り、そのうち1人を代表に選ぶということをするには

方法1:3人のグループを作り、3人のグループの中から代表を決める
方法2:1人の代表を選び、残りの9人の中から2人のグループを作る

という2種類の方法がありますが、やっていることはどちらも同じです。なので、両者の答えが一致するのは当然の話なのです。

理解を深めるために類題を解いてみましょう。




12人の人がいる。この中から3人のグループを作る方法は何通りか?

 12人の中から3人を選ぶ組み合わせの問題です。
よって  12C3 通りとなります。



12人の人がいる。この中から3人のグループを作り、その3人の中から1人の代表を選ぶ方法は何通りか?

 まず「3人のグループを作る」のは先ほどと同じで「12人の中から3人を選ぶ組み合わせ」の問題です。
よってここについては  12C3 通りとなります。

 次に「3人の中から1人の代表を選ぶ」ということについてですが、「3人の中から1人を選ぶ組み合わせ」の問題です
ここについては  3C1 通りとなります。

 よって今回の問題では、これら2つの式を掛け合わせれば良いので
場合の数:数式
が答えになります。



12人の人がいる。この中から1人の代表を選ぶ方法は何通りか?

 12人の中から1人を選ぶ組み合わせの問題です。
よって  12C1 通りとなります。



12人の人がいる。この中から1人の代表を選び、残りの11人の中から2人のグループを作る方法は何通りか?

 まず「1人の代表を選ぶ」のは先ほどと同じで「12人の中から1人を選ぶ組み合わせ」の問題です。
よってここについては  12C1 通りとなります。

 次に「残りの11人の中から2人のグループを作る方法」ということについてですが、「11人の中から2人を選ぶ組み合わせ」の問題です
ここについては  11C2 通りとなります。

 よって今回の問題では、これら2つの式を掛け合わせれば良いので
場合の数:数式
が答えになります。やはり答えは一致しましたね。



場合の数:数式という式だけを見ていると何だかよく分からない式ですが、

n人の中からr人のグループを作り、そのうち1人を代表に選ぶということをするには

方法1:n人の中からr人のグループを作り、そのr人のグループの中から1人の代表を決める
方法2:n人の中から1人の代表を選び、残りの(n-1)人の中から(r-1)人のグループを作る

という2つの方法がありますが、どちらの考え方で計算したところで答えは一致する、というのがこの式の示している内容になります。

別の書き方をするのならば
場合の数:数式
と書くと分かりやすいのかもしれません。いずれにしても式の示していることは同じです。


一般に教科書などでは
場合の数:数式
というコンビネーションの式を用いて場合の数:数式を証明するのですが、 ここでは割愛致します。
ガリガリ計算して証明するのも大切なのですが、この式の示す”意味”を理解することは出来ません。
n人の中からr人のグループを作り、そのうち1人を代表に選ぶというイメージをくれぐれも忘れないようにしてください。