数列


  参考ページ 
  〜数列って何??〜
  数列を基礎・根本から学びたい人は数列の種類とanの表記方法

  〜等差数列〜
  等差数列を基本から学びたい人は等差数列の公式と速く解く手法
  視覚的な等差数列を学びたい人はグラフで理解する等差数列

  〜等比数列〜
  等比数列を基本から学びたい人は等比数列の公式と速く解く手法
  視覚的な等比数列を学びたい人はグラフで理解する等比数列

  〜数列の和〜
  シグマ記号って何?という人はシグマの表記方法と意味・計算方法
  等差数列の和を学びたい人は等差数列の和と公式・証明
  等比数列の和を学びたい人は等比数列の和と公式・証明



 さて,数列を学習する上でまず最初の技術として必要なのは何でしょうか?
それは数列の規則性を見抜くことです.数がただ並んでいるだけなのか,それとも 何かの規則性・ルールに則っているのかを判断する技術は数列を学習する上では必須になってきます.
そこで以下では,まずこの数列の規則性は何か?を見抜く練習をしていきます.



次の数列の規則性を見抜き,?に入る数字を答えなさい.
  (1) 1,3,5,7,9,11,?,15,・・・
  (2) 1,4,7,10,13,16,?,・・・
  (3) 19,14,9,4,−1,−6,?,−16・・・
  (4) 3,6,12,24,48,?,192,・・・
  (5) 1280,640,320,160,80,?20,10,・・・


さて如何でしょうか?
ひとつひとつ丁寧に見て行きます.



  (1) 1,3,5,7,9,11,?,15,・・・

この数列の規則性は奇数ですね.あるいは2ずつ増える数列(等差数列)ともいえます.
よってに入る数字は13となります.



  (2) 1,4,7,10,13,16,?,・・・

先程と違い3ずつ増える数列(等差数列)となります.
よってに入る数字は19となります.



  (3) 19,14,9,4,−1,−6,?,−16・・・

今度は前の2つとは違い減っていきます.つまり5ずつ減る数列(等差数列)となります.
よってに入る数字は−11となります.



  (4) 3,6,12,24,48,?,192,・・・

コレはどうでしょうか?見て一瞬で分かりますか?
今までと違い,隣り合う数列同士の差分が同じわけでもありません.しかしよく見ていくと数列が進むにつれて2倍されていきます.
つまり隣合う数同士の比が一定である,ということから2倍していく数列(等比数列)となります.
よってに入る数字は96となります.



  (5) 1280,640,320,160,80,?20,10,・・・

今度の数列はよく見ていくと数列が進むにつれて1/2倍されていきます.
すなわち1/2倍していく数列(等比数列)となります.
よってに入る数字は40となります.



さらに練習していきます.

次の数列の規則性を見抜き,?に入る数字を答えなさい.
  (6) 1/1 , 2/3 , 3/5 , 4/7 , 5/9 , ? , 7/13 , ・・・
  (7) 2×1,4×4,6×7,?,10×13,12×16,・・・
  (8) 1,4,9,16,25,?,49,64,・・・
  (9) 1,3,2,6,3,12,4,24,5,48,6,96,?,・・・
  (10) 1,3,7,13,21,31,43,57,73,?,・・・


さて今度は如何でしょうか?
(1)~(5)に比べれば難しいでしょうが,ひとつひとつ丁寧に見て行きます.



  (6) 1/1 , 2/3 , 3/5 , 4/7 , 5/9 , ? , 7/13 , ・・・

規則性が分かりますでしょうか?この数列は分子と分母に分けて考えると見えてきます.
  分子:1,2,3,4,5,?,7,・・・
  分母:1,3,5,7,9,?,11,・・・
このように書くと分かりやすいはずです.分数全体でみると意味不明ですが,分母分子で分けるとそれぞれ分子は1ずつ増える数列(等差数列)分母は2ずつ増える数列(等差数列)ですね.
よってに入る数字は6/11となります.



  (7) 2×1,4×4,6×7,?,10×13,12×16,・・・

この数列は掛け算の左と右に分けて考えると見えてきます.
  左:2,4,6,?,10,12,・・・
  右:1,4,7,?,13,16,・・・
左右で分けるとそれぞれ左は2ずつ増える数列(等差数列)右は3ずつ増える数列(等差数列)ですね.
よってに入る数字は8×10(80)となります.



  (8) 1,4,9,16,25,?,49,64,・・・

これはどうでしょうか??一度見たことのある人ならば気が付くかと思いますが
  2,22,32,42,52,?,72,82,・・・
となっており2乗の形で1ずつ増える数列(実は階差数列)ですね.
よってに入る数字は2(36)となります.



  (9) 1,3,2,6,3,12,4,24,5,48,6,96,?,・・・

これも中々気が付きにくいですね.しかし,じーーーーっと見てみるとどうでしょうか?何やら奇数番目偶数番目の数列として考えると見えてきませんか? そこで数列を1つ飛ばしに2つに分けて考えてみましょう.
  奇数番目:1,2,3,4,5,6,?,・・・
  偶数番目:3,6,12,24,48,96,・・・
1つ飛ばしで分けるとそれぞれ奇数番目は1ずつ増える数列(等差数列)偶数番目は2倍していく数列(等比数列)ですね.
よってに入る数字はとなります.



  (10) 1,3,7,13,21,31,43,57,73,?,・・・

ラストです.これは一見良く分かりませんね.
一見してどうしても良く分からない数列の規則性を見るコツはズバリ数列の差分(階差)をみることです.
すなわち,の差,の差などを順番に見て行きます.
すると,
  差分:3-1 , 7-3 , 13-7 , 21-13 , 31-21 , 43-31 , 57-43 , 73-57 , ・・・
つまり
  差分:2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , ・・・
となっています.ここまでくればもう分かったかと思いますが,差分でみると2ずつ増える数列(等差数列)となっていますね.
以上からに入る数字は73より18大きい数字が入ると分かります.
よってに入る数字は91となります.


  ※ どうしても分からないときは階差数列?? 
 上の問題の(10)で考えたような 数列の同士の差を取ると規則性が見えてくる数列のことを階差数列と呼びます.

 必勝法というわけではありませんが,ある数列をじっと見つめていてどうしても分からない時は, ひとつの作戦として一度数列の差分をとってみるというのが有効です.

 たとえば
  (8) 1,4,9,16,25,36,49,64,・・・
 の数列でもそうですが,ためしに差分をとってみると
  (8)' 3,5,7,9,11,13,15・・・
  となっており,差分でみると2ずつ増える数列(等差数列)となっています.

 さらに次の場合はどうでしょうか?
  (11) −10,−13,−15,−13,−4,15,47,95,・・・
 多分規則性もまったく見えてこないかと思います.それではためしに差分をとってみると
  (11)' −3,−2,2,9,19,32,48・・・
 ・・・うーんこれでもいまいち分かりませんね.ではためしに更にコレの差分をとってみると
  (11)'' 1,4,7,10,13,16・・・
  規則性が見えてきました.つまり差分の差分でみると3ずつ増える数列(等差数列)となっています.階差数列の階差といった感じですね(笑)


 ここで述べたのはほんの一例に過ぎませんが,良く分からなかったら一度階差数列を考えてみるというのは応用が利くことが多いです.
 ・・・しかし,階差数列が必勝法だとは思ってはダメですよ?世の中そうそう必勝法なんてないですからね!
 その場その場で頭をフル回転して考えて下さい!!





 規則性を見抜く練習はコレにて一旦終了とさせて頂きます.
「何だか色々なパターンを列挙されただけなんだけど・・・」という印象を受ける方もいるかと思われますが,この手の問題は問題集などで数をこなすのが一番効果的だと思われます.
ここで述べたコツ等を活かして,取り組んでみて下さい!