数列


  参考ページ 
  〜数列って何??〜
  数列を基礎・根本から学びたい人は数列の種類とanの表記方法

  〜等差数列〜
  等差数列を基本から学びたい人は等差数列の公式と速く解く手法
  視覚的な等差数列を学びたい人はグラフで理解する等差数列

  〜等比数列〜
  等比数列を基本から学びたい人は等比数列の公式と速く解く手法
  視覚的な等比数列を学びたい人はグラフで理解する等比数列

  〜数列の和〜
  シグマ記号って何?という人はシグマの表記方法と意味・計算方法
  等差数列の和を学びたい人は等差数列の和と公式・証明
  等比数列の和を学びたい人は等比数列の和と公式・証明




   ~Break Time~

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 前ページで等差数列について触れてきましたが、イメージは掴めましたでしょうか?
ここではビジュアル的な理解を深めるためにグラフを使って数列を考えるということを 行ってみます。





前ページで述べたように等差数列とは
  「an = αn + β
という形で表される数列のことなのですが、これってXY座標のグラフを勉強していたときに見た何かに似ていませんか?

ずばり
  「y = αx + β
です。要するに”直線”です。



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 右図のグラフは何度も見てこられた一般的な直線のグラフです。
  「y = x + 1
というと傾きが1y切片が1という直線のグラフですね。



  <数列の画像が表示されていません!>    右図は・・・というとコレも一般的な直線のグラフです。グラフの縦軸と横軸が変わっただけで他は何も変わりません。
  「an = n + 1
というと傾きが1y切片が1という直線のグラフですね。等差数列の式とは直線の式と同等なのです。

じゃあ一体どこに違いがあるのか・・・というと一つだけです。
通常n = 1,2,3,4,5,・・・と横軸が自然数の値のみしか取らないということだけです。

普通の直線のグラフのように「y = x + 1 」というxy座標上の直線であれば、値は連続的です。別の言い方 をすれば、
n = 0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,・・・などと横軸のxが1未満の値でも無理数の場合でも大抵はどのような値にもなりえます。

一方、数列の場合ですとnというのは数列のn番目のことを意味しているので、 数列の 0.01番目だとか数列の3.14番目などというものは考えません。 通常は数列は自然数の範囲で考えるものです。これが今までの直線との最大の違いになります。





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それでは前ページで触れた以下の数列について見てみましょう。
  an = 2n - 1 ・・・ 2ずつ増える数列(等差数列)
  an = 3n - 1 ・・・ 3ずつ増える数列(等差数列)
  an = 4n - 1 ・・・ 4ずつ増える数列(等差数列)
前ページで触れたnの前につく係数についてですが、これは直線の式として考えれば右図からも分かるように直線の傾きとして 考えることができます。
さて、次に定数項についてですが、これは前ページでは0番目(n=0)も含めて考えたときに・・・という話をしていましたが、直線の式として考えると一目瞭然ですね。



  <数列の画像が表示されていません!>  
さらに前ページで触れた以下の数列について見てみますと・・・

  an = 2n + 3 ・・・ 2ずつ増える数列(等差数列)
  an = 3n + 3 ・・・ 3ずつ増える数列(等差数列)
  an = 4n + 3 ・・・ 4ずつ増える数列(等差数列)
右図と先ほどの図を比較すれば分かるように、定数項については直線のy切片として考えることができます。
以前はn=0を代入したときに得られる値と説明しましたが、図を見れば直観的にも分かるかと思います。




 さて以上が視覚的に理解する等差数列となります。基本的には直線の式ですが等差数列とは離散的な直線の式であると 認識しておきましょう。連続的な値ではなく離散的だということにだけ注意すれば大丈夫です!