数列


  参考ページ 
  〜数列って何??〜
  数列を基礎・根本から学びたい人は数列の種類とanの表記方法

  〜等差数列〜
  等差数列を基本から学びたい人は等差数列の公式と速く解く手法
  視覚的な等差数列を学びたい人はグラフで理解する等差数列

  〜等比数列〜
  等比数列を基本から学びたい人は等比数列の公式と速く解く手法
  視覚的な等比数列を学びたい人はグラフで理解する等比数列

  〜数列の和〜
  シグマ記号って何?という人はシグマの表記方法と意味・計算方法
  等差数列の和を学びたい人は等差数列の和と公式・証明
  等比数列の和を学びたい人は等比数列の和と公式・証明



 一応教科書に則って・・・ということで等差数列の公式について軽く触れておきます。
教科書などに載っている公式は次のようになります。

  「an = (公差)×(n-1) + (初項)
さらに(公差)r(初項)a1と書けば
  「an = r(n-1) + a1
と書くこともできます。
ここでいう(公差)とは等差数列が一定の割合で増えていくわけですが、その割合のことを示し、(初項)とは数列の最初の値のことです。

  <数列の画像が表示されていません!>  
しかし、ここでいう公式は至極当然のことではあります。なにやら (n-1) などと不思議な数が出てきますが、要するに n=1のときにa1となるようにしただけです。

前ページのようにグラフで考えれば当然であることが分かるかと思います。

しかしどうでしょうか?以前に述べたような
  「an = αn + β
という式で書いた方が見た目は少なくとも綺麗です。
βはy切片であることを覚えておけば出来るはずです。


公式の方が分かりやすい場合はそれでも良いのですが、あまり公式に惑わされないようにしてください。
nの係数は公差なのですぐに分かるかと思うのですが、定数項については少し計算が必要になります。
ここでの解き方は普段どのようにして直線の式を求めているかに近いと思います。

例えば
交差が4で、a4=5となるような数列は?という問題と
傾きが4で、(4,5)を通る直線の式は?という問題は本質的には同等です。

ここでの直線の式を求めるときの頭の動かし方と同じように等差数列の式を作れば十分です。新しく公式を覚える必要はありません。

以下は練習問題になります。

  等差数列 
    「1、5、9、13、17・・・」となる等差数列をanを用いて一般のnについての式で表しなさい。

  交差が4であることはすぐに分かるので an = 4n + [?] の形
  初項が1になるように定数項の値を考えると
  an = 4n - 3 



    「-9、-3、3、9、15・・・」となる等差数列をanを用いて一般のnについての式で表しなさい。

  交差が6であることはすぐに分かるので an = 6n + [?] の形
  初項が-9になるように定数項の値を考えると
  an = 6n - 15 



    「1/3、1、5/3、7/3、9・・・」となる等差数列をanを用いて一般のnについての式で表しなさい。

  交差が 2/3 であることはすぐに分かるので an = 2/3 n + [?] の形
  初項が 1/3 になるように定数項の値を考えると
  an = 2/3 n - 1/3 



    「18、25/2、7、3/2、-4・・・」となる等差数列をanを用いて一般のnについての式で表しなさい。

  交差が - 11/2 であることはすぐに分かるので an = - 11/2 n + [?] の形
  初項が18になるように定数項の値を考えると
  an = - 11/2 n + 47/2 


以上で等差数列も終了となります。計算手法もつかめましたでしょうか?
基本的には直線の計算をしていた時と頭の動かし方は同じなので、それさえ理解できればスムーズに理解できるはずです。