数列


  参考ページ 
  〜数列って何??〜
  数列を基礎・根本から学びたい人は数列の種類とanの表記方法

  〜等差数列〜
  等差数列を基本から学びたい人は等差数列の公式と速く解く手法
  視覚的な等差数列を学びたい人はグラフで理解する等差数列

  〜等比数列〜
  等比数列を基本から学びたい人は等比数列の公式と速く解く手法
  視覚的な等比数列を学びたい人はグラフで理解する等比数列

  〜数列の和〜
  シグマ記号って何?という人はシグマの表記方法と意味・計算方法
  等差数列の和を学びたい人は等差数列の和と公式・証明
  等比数列の和を学びたい人は等比数列の和と公式・証明



  <数列の画像が表示されていません!>    前のページで触れた等比数列を自分でanを用いた一般の形で表してみる という練習を行っていきます。
しかしそうはいってもやることは簡単です。右の公式さえ覚えていれば、初項公比を代入すればハイ終わり〜・・・なわけです。この公式を覚える、という人はこのやり方でも結構です。


  <数列の画像が表示されていません!>    しかし、前ページでも言ったとおり、等比数列の形さえ覚えておけば十分です。
すなわち、等比数列の最大の特徴である「an」の式の中にrnのようにnを指数に持つ部分をもつことです。



 公式を覚えずにどうやるか・・・というとおおよそ等差数列の章 で触れたやり方と同じです。
たとえば以下の等比数列をanを用いた一般の形で表すとします。
  3,6,12,24,48,・・・

  <数列の画像が表示されていません!>   これをみただけで、初項は3公比は2なので右の公式にあてはめれば
  an=3・2n-1
とするのも良いと思います。





  <数列の画像が表示されていません!>   では他のやり方は・・・というと、公比は2であることはすぐに分かるので
  an=○・2n
という形だなぁ、と形をまずつかみます。

そして虫食い算のように残ったの部分を埋めることを考えます。
例えば
  a1=3
となることを考えれば
  a1=3
  a1=○・21
の2式を比較しての部分を埋めると・・・
  ○=3/2
となります。

よってもとのanの式に代入すれば
  an=3・2n-1
だと分かります。




どちらのやり方の方が好きかは人それぞれだと思います。
2つ目の考え方は一見遠回りにも見えますが、慣れてくると暗算で一瞬のうちに計算も終わるので便利なときも多いです。

それに付け加えて、初項が分からない場合には2つ目の考え方はかなり有効です。

例えば受験生の中で上の問題が
  公比が2で、a4=24 となる数列は?
という書き方をすると途端に手が止まる人がいます。
要するに初項が分からないと手が止まるということです。これは完全に公式だけを暗記している証拠です。

2つ目の考え方を使えば
  a4=24
  a4=○・24
の2式を比較しての部分を埋めると・・・
  ○=3/2
となります。

本質からきちんと理解できていれば何も困る問題ではないはずです。
公式だけを覚えずに、しっかりと頭で考えて理解するようにしてください。

以下は練習問題になります。

  等比数列 
    「2、6、18、54、112・・・」となる等比数列をanを用いて一般のnについての式で表しなさい。

  公比が3であることはすぐに分かるので an = ?・3n の形
  初項が2になるように?の値を考えると
  an = 2・3n-1 



    「2、4、8、16、32・・・」となる等比数列をanを用いて一般のnについての式で表しなさい。

  公比が2であることはすぐに分かるので an = ?・2n の形
  初項が2になるように?の値を考えると
  an = 2n 



    「1、-1、1、-1、1・・・」となる等比数列をanを用いて一般のnについての式で表しなさい。

  公比が-1であることはすぐに分かるので an = ?・(-1)n の形
  初項が1になるように?の値を考えると
  an = (-1)n+1 



    「公比が7・a2=70」となる等比数列をanを用いて一般のnについての式で表しなさい。

  公比が7なので an = ?・7n の形
  a2=70になるように?の値を考えると
  an = 10・7n-1 



    「公比が-3・a3=9」となる等比数列をanを用いて一般のnについての式で表しなさい。

  公比が-3なので an = ?・(-3)n の形
  a3=9になるように?の値を考えると
  an = (-3)n-1 


以上で等比数列も終了となります。計算手法もつかめましたでしょうか?
基本的には等差数列の時と頭の動かし方は同じなので、それさえ理解できればスムーズに理解できるはずです。